Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{4}$ et $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$