Calcul infinitésimal Exemples

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (x) + x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.2.2

Comme $\arctan (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 2.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Étape 2.3.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Étape 2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Étape 2.3.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $x$ .

$x = x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$x = x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Étape 5.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Étape 5.4

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.2.2

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{y}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} y}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.5

Associez $2$ et $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{2 y}{2}$ et $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.3.7.2

Divisez $y x$ par $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez $0$ et $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $\arctan (x) + x y - x y$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $\arctan (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\arctan (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Étape 10.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (x)$ et $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 10.4

Associez $x$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 10.5

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.5.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.5.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 10.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 10.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 10.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 10.5.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 10.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 10.6

Simplifiez

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Étape 10.6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 10.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Étape 10.6.3

Multipliez $2$ par $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 10.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 10.8

Supprimez les parenthèses.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 10.10

Simplifiez

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 10.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 12.1.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Étape 12.1.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x^{2} + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Étape 12.1.3.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 12.2

Pour écrire $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.3

Associez $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.1

Multipliez $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Étape 12.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Étape 12.5.1.2

Simplifiez $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Étape 12.5.2

Multipliez les exposants dans ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 12.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 12.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Étape 12.5.3

Simplifiez

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Étape 12.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$