Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Étape 2.5.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Étape 2.5.4

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

Étape 2.5.5

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 2 - 4 x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Soustrayez $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Soustrayez $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Associez $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ et $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Étape 6.2

Associez $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ et $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$