Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y^{3}$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

Étape 2.4

Soustrayez $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 9 y^{2} + 4 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2}$ .

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 9 y^{2} + 4 x y$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $- 3 y^{2}$ et $9 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y^{2} - 4 x y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 x y$ .

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (3 y - 2 x)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $3 y - 2 x$ et $2 x - 3 y$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 y) - (2 x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez $- (- 3 y + 2 x)$ comme $- 1 (- 3 y + 2 x)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 4.3.5.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.7

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $2 x - 3 y$ par $1$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $7 - 3 x y^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $7 - 3 x y^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 2 x - 3 y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

Étape 8.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

Étape 8.6

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.2

Différenciez.

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Étape 11.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- 3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y x$ par rapport à $y$ est $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Soustrayez $3 x$ de $0$ .

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Étape 12.1.2.2.2

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ .

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Étape 12.1.3.1

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $\frac{7}{y^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{7}{y^{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Étape 13.3

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.4

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 13.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 13.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

Étape 13.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

Étape 13.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.7.1

Réécrivez $7 (- y^{- 1} + C)$ comme $7 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

Étape 13.7.2

Simplifiez

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Étape 13.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

Étape 13.7.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

Étape 13.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$