Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ .

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

Étape 4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

Étape 4.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $16$ .

$\frac{16}{5} + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $\frac{16}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - \frac{16}{5}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{16}{5}$ dans $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{16}{5}$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $5$ par $16$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $10$ par $8$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $10$ par $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.12

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{5}$ .

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Étape 5.2.2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.2.12.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $16$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $10$ à partir de $80 x^{2}$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $10$ à partir de $80 x^{4}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.5

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $10$ à partir de $40 x^{6}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.6

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.4.6.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x^{8}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.2.4.7

Associez $\frac{1}{10}$ et $x^{10}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ .

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Étape 5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

Étape 5.3.3

Divisez $0$ par $5$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

Étape 5.3.4

Additionnez $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ et $0$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$