Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Étape 2

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $\sin (x) y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Étape 2.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\sin (x) y = \int d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\sin (x) y = x + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = x + C$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = x + C$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.3.1.3

Divisez $x$ par $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 7.3.1.4

Séparez les fractions.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 7.3.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Étape 7.3.1.6

Divisez $C$ par $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$