Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{y}{1 + y^{2}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.5

Divisez $y$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\sin (0) + C$ .

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Étape 4.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.3.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Étape 4.3.1.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Étape 4.3.1.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez $C$ par $\frac{1}{2}$ dans $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$