Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 4}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 4}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{4}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{4 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 7.3.2

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 7.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

Étape 7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 7.5.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 7.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Étape 7.5.3

Simplifiez

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Étape 7.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 7.5.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $\frac{2}{3 x^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $\frac{2}{3 x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

Étape 8.4.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{2 x}{3}$ et $C x^{4}$ .

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $10$ dans $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ .

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

Étape 10.2

Simplifiez $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

Étape 10.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$C + \frac{2}{3} = 10$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $\frac{2}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

Étape 10.3.2

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 10.3.3

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 10.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 10.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.5.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$C = \frac{30 - 2}{3}$

Étape 10.3.5.2

Soustrayez $2$ de $30$ .

$C = \frac{28}{3}$

Étape 11

Remplacez $C$ par $\frac{28}{3}$ dans $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $\frac{28}{3}$ .

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Étape 11.2

Associez $\frac{28}{3}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$