Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y + x^{2}$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y = x^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x^{2} e^{- x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x^{2} e^{- x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x^{2} e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Étape 7.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Étape 7.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 7.7.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 7.8

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.8.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 7.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Étape 7.11

Réécrivez $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ comme $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Étape 7.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x (- e^{- x}) - e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x (- e^{- x})$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1) - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (- 1 x - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.3.2

Divisez $2 (- x - 1)$ par $1$ .

$y = - x^{2} + 2 (- x - 1) + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} - 2 x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$