Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $4 x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$