Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$e^{\int \tan (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sec (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 3.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 3.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.3

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.5

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.7

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.9

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sec (x) y = \tan (x) + C$ par $\sec (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sec (x) y = \tan (x) + C$ par $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.4

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.6

Séparez les fractions.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 8.3.1.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Étape 8.3.1.9

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Étape 8.3.1.10

Divisez $C$ par $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$