Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Étape 1.2

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + x y^{3} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 1.5

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 1.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 1.8

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Étape 1.9

Additionnez $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Étape 1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Étape 1.10.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Étape 1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.5.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Étape 2.5.4

Additionnez $x e^{x} + e^{x}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ .

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $3 (x e^{x} - 6)$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 (x e^{x} - 6)$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Étape 5.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Étape 5.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.2

Comme $\frac{y^{3}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x e^{x} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.8

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.9

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.10

Additionnez $3 (x e^{x} + e^{x})$ et $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.11

Associez $3$ et $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.3.12.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Étape 9.1.2

Simplifiez $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Étape 9.1.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Étape 9.1.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Étape 9.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Soustrayez $y^{3} x e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $y^{3} e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.3

Associez les termes opposés dans $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{3} e^{x}$ et $- y^{3} x e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.3.2

Soustrayez $e^{x} y^{3} x$ de $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.3.3

Additionnez $y^{3} e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Étape 9.1.3.3.4

Soustrayez $y^{3} e^{x}$ de $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Étape 9.1.3.3.5

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $e^{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x e^{x}$ .

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$