Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{2} + y^{2}) + 1 + x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{2} + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$