Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{t - 2}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t - 2}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t - 2}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = t - 2$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = (t - 2) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int t - 2 d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t - 2 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t d t + \int - 2 d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int - 2 d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} - 2 t + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - 2 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} t^{2} - 2 t + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} - 2 t + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 (- 2 t) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 (- 2 t) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = t^{2} + 2 (- 2 t) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y^{2} = t^{2} - 4 t + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

$y = \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

$y = \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{t^{2} - 4 t + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{t^{2} - 4 t + K}$

$y = - \sqrt{t^{2} - 4 t + K}$