Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 x + 4$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} + K$