Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + K$