Calcul infinitésimal Exemples

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(x^{2} - y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x^{2} - y^{2})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Étape 2.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 3.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$2 y = 2 y$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 y = 2 y$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

Étape 6

Intégrez $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

Étape 6.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

Étape 6.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

Étape 6.6

Simplifiez

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Étape 9.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.3

Comme $\frac{x^{3}}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.4

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2} x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.7

Soustrayez $2 x y$ de $0$ .

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.3.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Étape 10.1.2

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 11

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 11.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 11.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 12

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

Étape 13.3

Multipliez $- (- y^{2} x)$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

Étape 13.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$