Calcul infinitésimal Exemples

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y^{2} x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2} x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Étape 1.4

Soustrayez $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Étape 2.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 y x$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x y$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x y = - 2 x y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = x - y^{2} x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

Étape 5.3

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 5.6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Étape 5.7.2

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Étape 5.7.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.3

Comme $- \frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.7

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.8

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.3.8.2.4

Divisez $- x^{2} y$ par $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Soustrayez $x^{2} y$ de $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- x^{2} y$ et $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$