Calcul infinitésimal Exemples

$x (y^{2} - 1) d y + y (x^{2} - 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $y (x^{2} - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x (y^{2} - 1) d y = - y (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Étape 3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Étape 3.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Étape 3.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Étape 3.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Étape 3.9

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot - 1$ .

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

Étape 3.9.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.9

Additionnez $- 1 y$ et $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.11

Divisez $y^{2} - 1$ par $y$ .

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Étape 4.2.11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Étape 4.2.11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

Étape 4.2.11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Étape 4.2.11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Étape 4.2.11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 4.2.11.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Étape 4.2.11.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.15

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.16

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$