Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Étape 1.3.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez des parenthèses.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 1.3.2.4

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ par $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Étape 2.2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $2 y$ par $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| y |)$ comme $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.6

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Étape 3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$