Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ par $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cot (x)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Étape 2.2.4.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Étape 2.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec^{- 2} (x)$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Étape 2.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Étape 2.11

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Séparez les fractions.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.8

Associez $\frac{- 2}{1}$ et $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.9

Associez $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ et $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.2.10

Divisez $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Étape 3.3

Séparez les fractions.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Étape 3.4

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Étape 3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.9.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.9.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Étape 3.10

Associez $\frac{5}{1}$ et $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Étape 3.11

Associez $\frac{5 \cos (x)}{1}$ et $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Étape 3.12

Divisez $5 \cos (x) \sin (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Étape 3.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 7.2

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.2.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Réécrivez $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Étape 7.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ par $\cos^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ par $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $- \frac{5}{2}$ par $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 8.3.1.3

Séparez les fractions.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Étape 8.3.1.5

Divisez $C$ par $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$