Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{3} y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x^{3} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Étape 1.2

Comme $2 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{3} y$ par rapport à $y$ est $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{4} + y^{4}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Étape 2.4

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0$

Étape 2.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{3}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x^{3}$ .

$2 x^{3} = 4 x^{3}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x^{3} = 4 x^{3}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x^{3} y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x^{3} y$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 - 1 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 1 \cdot 2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{3} (4 - 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{3} (4 - 2)}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $2 x^{3} y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 y}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | y | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x^{3} y$ par $y$ .

$2 x^{3} y \cdot y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{4} + y^{4}$ par $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) y d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y^{4}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Multipliez $y^{4}$ par $y$ .

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Étape 6.5.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y^{1}) d y = 0$

Étape 6.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4 + 1}) d y = 0$

Étape 6.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{5}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} y^{2} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y^{2} \int x^{3} d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{2}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{2}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{2}}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $2$ par $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (y^{2})}{4} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + C$

Étape 8.3.2.6

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{4}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{x^{4}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{4}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.6

Associez $\frac{2 x^{4}}{2}$ et $y$ .

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.3.7.2

Divisez $x^{4} y$ par $1$ .

$x^{4} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} y + \frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} y = x^{4} y + y^{5}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{4} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $x^{4} y$ de $x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $y^{5}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $y^{5}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{5}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$