Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\arctan (x)}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\arctan (x)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ et $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.2.2

Associez $e^{\arctan (x)}$ et $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $e^{\arctan (x)}$ à partir de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $e^{\arctan (x)}$ à partir de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $e^{\arctan (x)}$ à partir de $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $e^{\arctan (x)}$ à partir de $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.6

Associez $e^{\arctan (x)}$ et $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = \arctan (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , donc $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = \arctan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 7.1.1.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 7.1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Étape 7.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Étape 7.4

Simplifiez

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Étape 7.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ par $e^{\arctan (x)}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ par $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\arctan (x)}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{\arctan (x)}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $\arctan (x)$ par $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{\arctan (x)}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$