Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.5

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Étape 1.6

Déplacez $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$