Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d t} = 8 + 8 u + t + t u$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d u}{d t} = (8 + 8 u) + t + t u$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d u}{d t} = 8 (1 + u) + t \cdot (1 + u)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 + u$ .

$\frac{d u}{d t} = (1 + u) (8 + t)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + u}$ .

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 + u} ((1 + u) (8 + t))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $1 + u$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 + u} ((1 + u) (8 + t))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = 8 + t$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + u} d u = (8 + t) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + u} d u = \int 8 + t d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + u$ . Puis $d u_{1} = d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + u$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + u$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int 8 + t d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int 8 + t d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + u$ .

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \int 8 + t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \int 8 d t + \int t d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 8 t + C_{2} + \int t d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 8 t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 8 t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $u$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + u |)} = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| 1 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C} = | 1 + u |$

Étape 3.3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C}$ .

$| 1 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 8 t + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$| 1 + u | = e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t + C}$ comme $e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t} e^{C}$ .

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t}$ et $e^{C}$ .

$u = \pm e^{C} e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$u = C e^{\frac{t^{2}}{2} + 8 t} - 1$