Calcul infinitésimal Exemples

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$y'' + 25 y = 0$

Étape 2

Déterminez $y'$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Étape 2.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

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Étape 2.3.2.1

Comme $A$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $A \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.2.7

Déplacez $5$ à gauche de $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $B$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $B \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Étape 2.3.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Étape 3

Déterminez $y''$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5 A$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 A \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5 B$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 B \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Étape 3.4.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Étape 3.4.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Étape 3.4.7

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Étape 4

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

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Étape 5.2.1

Additionnez $- 25 A \sin (5 x)$ et $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 25 B \cos (5 x)$ et $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Étape 5.2.3

Additionnez $- 25 B \cos (5 x)$ et $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Étape 6

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ est une solution à $y'' + 25 y = 0$