Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ et $y (e) = - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $e$ et $y$ par $- 2$ dans $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (e) + C = - 2$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$1 + C = - 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = - 2 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$C = - 3$

Étape 5

Remplacez $C$ par $- 3$ dans $y = \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $- 3$ .

$y = \ln (| x |) - 3$