Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

Étape 5

Comme $y$ est négatif dans la condition initiale $(0, - 3)$ , ne tenez compte que de $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $- 3$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ comme ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.4

Multipliez ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.5

Multipliez les exposants dans ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$1 + K = 9$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 9 - 1$

Étape 6.4.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$K = 8$

Étape 7

Remplacez $K$ par $8$ dans $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $8$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$