Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x y = y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V^{2} + V - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V^{2}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 2}$ par rapport à $V$ est $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- V^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$V, 1, 1$

Étape 6.3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$V$

Étape 6.3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ par $V$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ par $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Étape 6.3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $V$ à partir de $V \ln (| x |) + C V$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $V$ à partir de $C V$ .

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Étape 6.3.3.2.2

Factorisez $V$ à partir de $V \ln (| x |) + V C$ .

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 6.3.3.3

Divisez chaque terme dans $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ par $\ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ par $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| x |) + C$ .

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Étape 6.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.3.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$