Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 2.4

Multipliez $e^{2 t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Étape 2.4.3

Additionnez $t$ et $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Étape 2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Étape 6.2

Laissez $u = 3 t$ . Alors $d u = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 6.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Étape 6.5.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Étape 6.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ par $e^{2 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ par $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{3 t}$ et $e^{2 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3.1.2.4

Divisez $e^{t}$ par $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Étape 9.2.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Étape 9.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$1 + C = 3$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = 3 - 1$

Étape 9.3.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$C = 2$

Étape 10

Remplacez $C$ par $2$ dans $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $2$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$