Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 3 x + 4$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 3 x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$