Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 3.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

Étape 4.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{\arctan (x) + C}$ comme $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{\arctan (x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\arctan (x)}$