Calcul infinitésimal Exemples

$x + 2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ par $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ par $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Étape 1.1.2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1.1.2.3.3.2

Déplacez $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Étape 1.1.2.3.3.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Étape 1.1.2.3.3.4

Élevez $\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Étape 1.1.2.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.2.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.2.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.2.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.2.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 1.1.2.3.3.7.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (x^{2} + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4.2

Associez.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Étape 1.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Étape 1.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 1.4.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 2.3.3

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Étape 2.3.6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Étape 2.3.6.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez

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Étape 2.3.6.3.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.3.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.6.3.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.6.3.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.6.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.6.4.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.6.4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.6.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.6.4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.6.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 2.3.8.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$