Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + 1) d y = - 2 x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 1 |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y (x^{2} + 1) |) = C$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 |) = C$

Étape 5.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y |) = C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x^{2} + y |)} = e^{C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (| y x^{2} + y |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y |$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $| y x^{2} + y | = e^{C}$ .

$| y x^{2} + y | = e^{C}$

Étape 5.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y$ .

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Étape 5.8.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$

Étape 5.8.4

Divisez chaque terme dans $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.8.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Étape 5.8.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{x^{2} + 1}$