Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $6 x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ dans le numérateur.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $\cos^{2} (y)$ à partir de $- \cos^{2} (y)$ .

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (y)$ en $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.6

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.6.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.2.6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.7

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.9

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.10

Simplifiez

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.12

Simplifiez

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Étape 4.2.12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.12.3

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.12.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Étape 4.2.12.4.1

Multipliez $\frac{\sin (2 y)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.2.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 6 x + 1$ . Alors $d u_{2} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 6 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$