Calcul infinitésimal Exemples

$(x y^{2} + x - 2 y + 3) d x + (x^{2} y - 2 x - 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{2} + x - 2 y + 3$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x - 2 y + 3]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + x - 2 y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + 0$

Étape 1.7

Associez des termes.

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Étape 1.7.1

Additionnez $2 x y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2 + 0$

Étape 1.7.2

Additionnez $2 x y - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y - 2 x - 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y - 2 x - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.5

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + 0$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 y x - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y - 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y - 2$ .

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y - 2 x - 2 y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Étape 5.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Étape 5.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 \int y d y$

Étape 5.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)$

Étape 5.9

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Étape 5.10

Simplifiez

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Étape 5.10.1

Associez $- 2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Étape 5.10.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Étape 5.10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 5.10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 5.10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Étape 5.10.2.2.4

Divisez $- y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Étape 5.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.5

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{2 y^{2}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.3.7.2

Divisez $y^{2} x$ par $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.5

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $y^{2} x - 2 y$ et $0$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x$

Étape 9.1.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$ .

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Étape 9.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{2}$ et $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $x - 2 y + 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 2 y$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 3$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x + 3$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 3 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 3 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x d x + \int 3 d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x$

Étape 10.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C$

Étape 10.6

Simplifiez

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C$