Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- y^{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $e^{- y^{2}}$ à partir de $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ et $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.2.1

Inversez l’exposant de $e^{- y^{2}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2.2.2

Multipliez $- y^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2.2.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{y^{2}})$ en déplaçant $y^{2}$ hors du logarithme.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$