Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 6 e^{x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (6 e^{x})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (6 e^{x})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{2 x} e^{x}$

Étape 2.4

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 (e^{x} e^{2 x})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{x + 2 x}$

Étape 2.4.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$

Étape 2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 6 e^{3 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 6 e^{3 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 6 e^{3 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int 6 e^{3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 6 \int e^{3 x} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $6$ .

$e^{2 x} y = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} y = 2 \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

$e^{2 x} y = 2 e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 7.3.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7.3.1.2.4

Divisez $2 e^{x}$ par $1$ .

$y = 2 e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$