Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3.1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3.2

Associez.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Alors $d u = - 3 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 - x$ et $g (x) = 1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.3.2.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.2.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.2.1.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.2.1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.2.1.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

Étape 2.3.2.1.3.11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

Étape 2.3.2.1.3.11.3

Réécrivez $- 1 (1 + x + x^{2})$ comme $- (1 + x + x^{2})$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1.4.5.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.9

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.11

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.12

Additionnez $x - 2 x^{2}$ et $0$ .

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.13

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.14

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} - x^{2}$

Étape 2.3.2.1.4.5.15

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.3.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Développez $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.1.2.5.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.1.2.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez les termes opposés dans $1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Additionnez $1 + x^{2}$ et $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$