Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} (\frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{y + 2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $e^{y + 2}$ à partir de ${(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$e^{y + 2} d y = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y + 2} d y = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{10}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{2 x - 1} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y + 2} = - \frac{5}{2 x - 1} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y + 2})$ en déplaçant $y + 2$ hors du logarithme.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Étape 3.2.3

Multipliez $y + 2$ par $1$ .

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$ .

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Étape 3.3.1.1

Divisez la fraction $\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1}$ en deux fractions.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1}$ en deux fractions.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Étape 3.3.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Étape 3.3.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1})$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$