Calcul infinitésimal Exemples

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ par $\ln (| y |)$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ par $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| y |)$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\ln (| y |)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (| y |)$ et $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.4

Simplifiez

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Étape 3.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$