Calcul infinitésimal Exemples

Résoudre l''équation différentielle (x/y)dy+(1+ logarithme népérien de y)dx=0
Étape 1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2
Multipliez les deux côtés par .
Étape 3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 3.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 3.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.3
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.4
Réécrivez l’expression.
Étape 3.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4
Intégrez les deux côtés.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Définissez une intégrale de chaque côté.
Étape 4.2
Intégrez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1.1
Différenciez .
Étape 4.2.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.1.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 4.2.2
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1.1
Différenciez .
Étape 4.2.2.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.2.1.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.2.1.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.2.2.1.5
Additionnez et .
Étape 4.2.2.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 4.2.3
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 4.2.4
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.4.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.2.4.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.3
Intégrez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4.3.2
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 4.3.3
Simplifiez
Étape 4.4
Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme .
Étape 5
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.
Étape 5.2
Utilisez la propriété du produit des logarithmes, .
Étape 5.3
Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.
Étape 5.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Multipliez par .
Étape 5.5.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 5.6
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 5.7
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 5.8
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 5.8.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.1
Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un du côté droit de l’équation car .
Étape 5.8.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.8.2.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.8.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.8.2.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.8.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.3.3.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.3.3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.8.2.3.3.1.2
Divisez par .
Étape 5.8.2.4
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 5.8.2.5
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 5.8.2.6
Réécrivez l’équation comme .
Étape 6
Simplifiez la constante d’intégration.