Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Étape 7.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 7.6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Étape 7.9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Étape 7.10

Simplifiez

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Étape 7.10.1

Réécrivez $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ comme $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.10.2

Simplifiez

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Étape 7.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.10.2.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 7.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.5

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.3.1.9

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Étape 8.3.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Étape 8.3.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Étape 8.3.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Étape 8.3.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

Étape 8.3.1.11

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

Étape 8.3.1.12

Associez $\frac{\sin (x)}{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

Étape 8.4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Étape 8.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.2.1

Simplifiez $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.2.1.2.1

Multipliez $- \frac{x}{2} x$ .

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Étape 8.4.2.2.1.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.2.1.2.3

Associez $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

Étape 8.4.2.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

Étape 8.4.2.2.1.4

Déplacez $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

Étape 8.4.2.2.1.5

Déplacez $x^{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$