Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(2 x y + x^{2}) d y$ des deux côtés de l’équation.

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 x y + x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Étape 3.8.2

Associez des termes.

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Étape 3.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Étape 3.8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 6 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x - 2 y$ .

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 6 y$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x - 2 y$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $- (2 x y + x^{2})$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $- (2 x y + x^{2})$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.5

Additionnez $6 y$ et $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 8 y$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8 y$ .

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.2.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x y + x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $x + 2 y$ et $2 y + x$ .

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Étape 5.3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{- x}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 4$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 x y + 3 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $2 x y + 3 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Factorisez $y$ à partir de $2 x y + 3 y^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 7.3.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 7.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x) + y (3 y)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $- (2 x y + x^{2})$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $- 2 x y - x^{2}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.8

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y - x^{2}$ .

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Étape 7.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.8.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 y) + x (- x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 7.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 7.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - (x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.13

Réécrivez $- (2 y + x)$ comme $- 1 (2 y + x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Étape 9.2

Comme $\frac{1}{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Étape 9.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Étape 9.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Étape 9.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Étape 9.7

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Étape 9.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Étape 9.9

Simplifiez

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ et $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.7

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 12.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.10

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.11

Additionnez $0$ et $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.12

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.13

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.13.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.14

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.15

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.15.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.15.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.16

Pour écrire $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.18

Multipliez $x^{- 4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.18.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.18.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.7

Associez $x$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.8

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.9

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.10

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.11.2

Divisez $3 y$ par $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.13

Soustrayez $3 y$ de $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.14

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.3

Multipliez $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.3.2

Multipliez $\frac{3 y^{2}}{x}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.4

Pour écrire $x^{3} \frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.5.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 12.5.5.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.7

Pour écrire $2 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.7

Multipliez $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.7.1

Multipliez $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.7.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.7.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.7.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.7.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Étape 13.1.2

Simplifiez $y (2 x + 3 y)$ .

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Étape 13.1.2.1

Réécrivez.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Étape 13.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Étape 13.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Étape 13.1.2.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 13.1.2.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Étape 13.1.2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Étape 13.1.2.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.5.1

Déplacez $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Étape 13.1.2.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Étape 13.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.3.1

Soustrayez $2 y x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Étape 13.1.3.2

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Étape 13.1.3.3

Associez les termes opposés dans $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

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Étape 13.1.3.3.1

Soustrayez $2 y x$ de $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Étape 13.1.3.3.2

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Étape 13.1.3.3.3

Soustrayez $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13.1.4

Divisez chaque terme dans $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 13.1.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Étape 13.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 13.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Étape 13.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Étape 13.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1.4.3.1

Divisez $0$ par $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 14

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 14.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 14.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Étape 16.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 16.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Étape 16.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Étape 16.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Étape 16.3.4

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Étape 16.3.5

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Étape 16.4

Associez $\frac{- 1}{x^{2}}$ et $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Étape 16.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$