Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $2 x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Étape 9.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{0^{2}}$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Étape 9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.2.1

Simplifiez $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

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Étape 9.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Étape 9.3.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Étape 9.3.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$C = 1$

Étape 10

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$