Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} d y + 2 x (y d) x = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} d y = - 2 x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} y} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y} (x y) d x$

Étape 3.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y} (x y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x y (x)} (x y) d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x y x} (x y) d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | x^{2}) = C$

Étape 5.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| y | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | y |) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (x^{2} | y |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | y |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} | y | = e^{C}$ .

$x^{2} | y | = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} | y | = e^{C}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} | y | = e^{C}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Étape 5.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{x^{2}}$