Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2

Associez $0.6$ et $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

Étape 2.2.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Étape 2.2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Factorisez $0.6$ à partir de $0.6 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Séparez les fractions.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Divisez $0.6$ par $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.5

Divisez $t$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Multipliez $0.3$ par $0.3$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $0.3 t \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.4.1

Associez $0.3$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2

Associez $t$ et $\frac{0.3 K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Déplacez $0.3$ à gauche de $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6

Factorisez $0.3$ à partir de $0.3 \cdot t K$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8

Séparez les fractions.

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9

Divisez $0.3$ par $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10

Divisez $t K$ par $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.12

Associez $0.3$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.13

Factorisez $0.3$ à partir de $0.3 K$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.14

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.15

Séparez les fractions.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.16

Divisez $0.3$ par $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.17

Divisez $K$ par $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.18.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.18.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $0.15 t K$ et $0.15 K t$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $0.15 K t$ et $0.15 K t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.4

Simplifiez $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Étape 3.4.1

Déplacez $0.09 t^{2}$ .

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

Étape 3.4.2

Remettez dans l’ordre $0.3 K t$ et $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$