Calcul infinitésimal Exemples

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $21 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $21 x^{2} y^{4}$ par rapport à $y$ est $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $21$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 8 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 8 x^{3} y$ par rapport à $y$ est $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $28 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{3} y^{3}$ par rapport à $x$ est $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

Étape 2.4.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ .

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Étape 5.2

Comme $21 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $21 y^{4}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

Étape 5.4

Comme $- 8 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $21$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.2.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 5.7.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

Étape 5.7.4

Associez $- 8$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

Étape 5.7.5

Associez $y$ et $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

Étape 5.7.6

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 5.7.6.1

Factorisez $4$ à partir de $y (- 8 x^{4})$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

Étape 5.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

Étape 5.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Étape 5.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

Étape 5.7.6.2.4

Divisez $y (- 2 x^{4})$ par $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $7 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7 y^{4} x^{3}$ par rapport à $y$ est $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.3.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- 2 x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y (- 2 x^{4})$ par rapport à $y$ est $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $2 x^{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $28 x^{3} y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ .

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $28 x^{3} y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $28 x^{3} y^{3}$ de $28 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Étape 12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$