Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{4} d y = 3 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{4} d y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{5} y^{5} = x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $y^{5}$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{5} = 5 (x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{5} = 5 x^{3} + 5 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{5 x^{3} + 5 K}$

Étape 3.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{3} + 5 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{3}$ .

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3}) + 5 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{3}) + 5 K$ .

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3} + K)}$