Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} + 3 x y^{2}) d x + (3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 3 x y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 3 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x y$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $6 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Additionnez $6 y x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $6 y x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $6 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x y$ .

$6 x y = 6 x y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 x y = 6 x y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 3 x y^{2} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x y^{2} d x$

Étape 5.4

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} \int x d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.4

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{3}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.6

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.7

Multipliez $3$ par $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 5.7.8

Associez $\frac{3 y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} + C$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{3 y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{3 x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.5

Associez $2$ et $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2})}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 + \frac{6 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.7

Associez $\frac{6 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$0 + \frac{6 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 8.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{3 x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.3.8.2.4

Divisez $3 x^{2} y$ par $1$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez $0$ et $3 x^{2} y$ .

$3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $- 3 y^{2} + 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 3 y^{2} + 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Étape 10.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Étape 10.6

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Étape 10.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9

Simplifiez

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Étape 10.9.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 10.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.9.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.9.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = - y^{3} + 1 y^{2} + C$

Étape 10.9.5

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$g (y) = - y^{3} + y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{3 y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} - y^{3} + y^{2} + C$